Vaihtoehdot

Todennäköisyyslaskentaa

Yleinen kertosääntö

Oikean lottorivin todennäköisyys saadaan lasketuksi kertolaskun avulla. Lottonumerot ovat kuitenkin toisistaan riippuvia tapahtumia. Laskussa on huomioitava, että samoja numeroita ei voida valita uudestaan ja siten seuraavaa numeroa valittaessa ei mahdollisia numeroita olekaan enää yhtä paljon kuin edellisessä vaiheessa.

Yleinen kertosääntö

Jos tapahtumat A ja B ovat riippuvia, on kertosääntö muotoa $$P(\text{ensin A ja sitten B}) = P(A)\times P(B \text{ kun A on tapahtunut})$$

Tapahtuman B todennäköisyyttä laskettaessa otetaan siis huomioon, että tapahtuma A on jo sattunut.

Esimerkki 1

Kulhossa on $4$ punaista ja $2$ sinistä kuulaa. Kulhosta nostetaan peräkkäin kaksi kuulaa. Tutkitaan, mitkä ovat eri mahdollisuudet ja millä todennäköisyyksillä ne tapahtuvat.

$$\begin{align*} P(\text{punainen, punainen}) = \frac43 \times \frac35 = \frac25 \\ P(\text{punainen, sininen}) = \frac46 \times \frac25 = \frac4{15} \\ P(\text{sininen, punainen}) = \frac26 \times \frac45 = \frac4{15} \\ P(\text{sininen, sininen}) = \frac26 \times \frac15 = \frac1{15} \\ \end{align*}$$

Puudiagrammi sisältää kaikki eri mahdollisuudet. Lasketaan vielä tarkistukseksi kaikkien mahdollisuuksien todennäköisyyksien summa

$$\frac25+ \frac4{15} + \frac4{15}+\frac1{15}=\frac{15}{15}=1$$

Eli todennäköisyydet yhteen laskettuna antaa

Esimerkki 2
Lasketaan, millä todennäköisyydellä lotossa saadaan yhdellä rivillä 7 oikein. $$ \begin{align*}\frac7{36}\times \frac6{36}\times \frac5{36}\times \frac4{36}\times \frac3{36}\times \frac2{36}\times \frac1{36} \\= \frac1{15380937} \approx 0.000000065 = 65\times10{-4} \end{align*}$$

Oletetaan, että yhden rivin täyttämiseen menee 10 sekuntia ja että muistamme aiemmin täyttämämme rivit. Tällöin kaikkien mahdollisten lottorivien tekemiseen kuluu aikaa 153 809 370 sekuntia eli noin 5 vuotta.

233.
Jääkiekkopeli menee rangaistuslaukaisukilpailuksi. Ovatko maalinsaantiyritykset riippumattomia vai riippuvia tapahtumia?
234
Korttipakasta nostetaan kaksi korttia. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat ässiä?
235
Karkkipussissa on $12$ mustaa ja $8$ punaista karkkia. Pussista otetaan kaksi karkkia. Millä todennäköisyydellä ne molemmat ovat
a) mustia
b) punaisia?
236
Laatikossa on $3$ keltaista ja $4$ punaista kuutiota. Ovatko tapahtumat riippumattomia vai riippuvia? Laatikosta nostetaan kaksi kuutiota, niin että ennen toisen kuution nostamista
a) ensimmäinen kuutio palautetaan takaisin laatikkoon
b) ensimmäistä kuutiota ei palauteta laatikkoon.
237
Korttipakassa nostetaan umpimähkään neljä korttia. Millä todennäköisyydellä kaikki saadut kortit ovat mustia?
238
Kokouksessa on $3$ naista ja $5$ miestä. Heidän joukostaan arvotaan puheenjohtaja ja sihteeri. Millä todennäköisyydellä molemmat heistä ovat
a) naisia
b) miehiä?
239
Laatikossa on neljä oranssia ja $3$ violettia palloa. Laatikosta nostetaan yhtä aikaa kaksi palloa. Millä todennäköisyydellä
a) molemmat pallot ovat oransseja
b) molemmat pallot ovat violetteja.
240
Korissa on kahdeksan kissanpentua, joista $4$ on naaraita ja $4$ urosta. Pennuista otetaan umpimähkään neljä. Millä todennäköisyydellä ne kaikki ovat uroksia?
241
Luokassa on $15$ poikaa ja $12$ tyttöä. Luokasta valitaan arpomalla kaksi oppilasta. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat poikia?
242
Korttipakasta nostetaan viisi korttia. Millä todennäköisyydellä ne ovat kaikki kuninkaita?
243
Korissa on yhdeksän koiranpentua, joista $4$ on naaraita ja $5$ urosta. Pennuista otetaan umpimähkään viisi. Millä todennäköisyydellä ne kaikki ovat uroksia?
244
Millä todennäköisyydellä lotossa saadaan yhdellä rivillä $7$ oikein?
245
Diskettirasiassa on kymmenen diskettiä ja niistä kolme on viallisia. Henkilö ottaa rasiasta kaksi diskettiä. Laske millä todennäköisyydellä molemmat disketit ovat
a) viallisia
b) toimivia?
246
Kirpputorilla on myynnissä $10$ ehjää ja $2$ rikkinäistä radiota. Niistä ostetaan umpimähkään kaksi. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat
a) rikki
b) ehjiä?
247
Heitetään kolmea noppaa. Millä todennäköisyydellä kaikissa on eri pisteluvut?
248
Veikkauskuponki täytetään umpimähkään. Millä todennäköisyydellä saadaan
a) $13$ oikein
b) ei yhtään oikein?
249
Voiko yleistä kertosääntöä kuvata Venn-diagrammin avulla?
250
Laatikossa on viisi korttia, joista kolmessa on kirjain M ja kahdessa kirjain A. Kortit poimitaan pöydälle umpimähkäisessä järjestyksessä. Mikä on todennäköisyys sille, että syntyy sana MAMMA? (yo syksy 86)
251
Sienikurssilla opetettiin tunnistamaan $78$ erilaista sientä, joista kurssilainen oppi kuitenkin vain $49$. Kuinka suurella todennäköisyydellä hän tunnisti oikein hänelle satunnaisesti esitetyt kuusi erilaista kurssilla opetettua sientä? (yo syksy 1996)
252
Cub-kilpailu järjestetään siten, että osallistujat arvotaan kullakin kierroksella pareiksi. Kukin pari ottelee keskenään, ja voittaja jatkaa seuraavalle kierrokselle, jolla taas arvotaan jäljellä olevat osallistujat pareiksi. Näin jatketaan, kunnes jäljellä on enää kaksi osallistujaa, jotka ottelevat loppuottelun. Kilpailuun on ilmoittautunut $32$ osallistujaa. Millä todennäköisyydellä loppuottelussa on kaksi parasta osallistujaa? (yo syksy 1998)