Vaihtoehdot

Todennäköisyyslaskentaa

Klassinen todennäköisyys

Todennäköisyys liittyy ilmiöihin, joiden tulos riippuu sattumasta. Satunnaisilmiön lopputulosta ei voi etukäteen päätellä, mutta tulosten esiintymismahdollisuuksia voidaan tutkia matemaattisesti. Satunnaisilmiön eri tulosmahdollisuuksia kutsutaan alkeistapauksiksi. Esimerkiksi nopanheiton alkeistapaukset ovat silmäluvut $1, 2, 3, 4, 5$ ja $6$. Kolikonheiton alkeistapaukset ovat puolestaan kruuna ja klaava. Jos kaikki alkeistapaukset ovat yhtä mahdollisia, kutsutaan niitä symmetrisiksi.

Satunnaisilmiöiden tuloksista voidaan muodostaa tapahtumia, jotka muodostuvat kyseiselle tapahtumalle suotuisista alkeistapauksista. Nopanheiton tapahtumalle ”pisteluku on parillinen” suotuisat alkeistapaukset ovat $2$, $4$ ja $6$.

Klassinen todennäköisyys

Tapahtuman $A$ klassinen todennäköisyys

s $$P(A) = \frac{\text{suotuisten lkm}}{\text{kaikkien lkm}}$$

Todennäköisyys voidaan ilmoittaa esimerkiksi murto-, desimaali- tai prosenttilukuna. Mitä lähempänä $P(A)$ on arvoa $1$, sitä todennäköisempi on tapahtuma $A$.

Tapahtumaa, jolla ei ole yhtään suotuisaa alkeistapausta, kutsutaan mahdottomaksi ja sen todennäköisyys on $0$ eli $0 \%$. Jos kaikki alkeistapaukset ovat puolestaan suotuisia, on tapahtuma varma ja sen todennäköisyys on $1$ eli $100\%$.

Jokaiselle tapahtumalle $A$ on voimassa $$0 \leq P(A)\leq 1$$

Esimerkki 1.
Tarkastellaan nopanheittoa ja tapahtumaa $A =$ ”pisteluvuksi saadaan 5”. Alkeistapausten joukon muodostavat nyt kaikki mahdolliset pisteluvut $\{1, 2, 3, 4, 5$ ja $6\}$. Tapahtumalla $A$ suotuisia tapauksia on vain yksi eli pisteluku $\{5\}$. Tapahtuman $A$ todennäköisyys on siis $P(A) = P(\text{pisteluvuksi saadaan 5}) = \frac16 \approx 0,17 = 17%$.
Esimerkki 2.
Korttipakassa on 52 korttia. Nostetaan pakasta yksi kortti. Lasketaan todennäköisyys sille, että kortti on
a) ruutuässä. Ruutuässiä on vain yksi koko korttipakassa, eli $$P(\text{ruutuässä}) = \frac1{52}$$ b) hertta. Hertta on yksi korttipakan nejästä maasta, eli $$P(\text{hertta}) = \frac{13}{52} = \frac14$$ c) kuningas. Kuninkaita korttipakasta löytyy jokaiselle maalle yksi, eli $$P(\text{kuningas}) = \frac{4}{52} = \frac1{13}$$
159.
Miksi tapahtuman $A$ todennäköisyyttä merkitään $P(A)$? Mistä $P$ kirjan tulee?
160.
Onko seuraavissa tapauksissa kyse satunnaisilmiöstä?
a) Heitetään noppaa ja tarkastellaan, montako kertaa noppaa on heitettävä, että pisteluvuksi saadaan $3$.
b) Kuumennetaan teräslankaa ja tarkastellaan, piteneekö lanka lämmön vaikutuksesta.
c) Ostetaan pussillinen viinirypäleitä ja tarkastellaan sen hintaa.
d) Valitaan umpimähkään luku ja tarkastellaan, onko se jaollinen kahdella.
161.
Minkälaisia alkeistapauksia kutsutaan symmetrisiksi?
162.
Luettele kaikki erilaiset tulosmahdollisuudet, kun
a) noppaa heitetään kerran
b) kolikkoa heitetään kaksi kertaa.
163.
Luettele kaikki suotuisat alkeistapahtumat nopanheiton tapahtumille. Saadaan
a) vähintään $2$
b) vähemmän kuin $4$
c) enintään $3$
d) vähintään $2$, mutta enintään $5$
164.
Heitetään kolikkoa. Millä todennäköisyydellä saadaan kruuna?
165.
Avainnipussa on $9$ avainta, joista kaksi sopii kotioven lukkoon. Millä todennäköisyydellä nipusta otettu avain on kotioven avain?
166.
Arpajaisissa on $2000$ arpaa, joista $250$ on voittoarpoja. Millä todennäköisyydellä voitat, jos ostat yhden arvan?
167.
Korttipakasta otetaan umpimähkään yksi kortti. Mikä on todennäköisyys, että se on ässä tai kuningas?
168.
Millä todennäköisyydellä luokaltasi satunnaisesti valittu oppilas
a) on nimeltään Anu
b) on poika
c) omistaa koiran?
169.
Noin joka kymmenes ihmisistä on vasenkätinen. Montako vasenkätistä voi olettaa olevan $500$ henkilön joukossa?
170.
Kummalla lottoriveistä on suurempi todennäköisyys voittaa lottoarvonnassa?
a) $2, 9, 13, 18, 27, 29, 38$
b) $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$
171.
Arpajaisissa on $20$ voittoarpaa ja $580$ tyhjää arpaa. Millä todennäköisyydellä ensimmäisenä ostettu arpa sisältää voiton?
172.
Heitetään noppaa. Millä todennäköisyydellä saadaan pisteluvuksi
a) $6$
b) parillinen luku
c) enintään $5$?
173.
Korttipakasta, jossa on $52$ korttia, nostetaan yksi kortti. Millä todennäköisyydellä kortti on
a) ruutu
b) ässä
c) ruutu tai ässä?
174.
Noppaa heitetään kerran. Laske todennäköisyys, että pisteluvuksi saadaan
a) kolme
b) muu kuin kolme?
175.
Luvuista $1-15$ valitaan umpimähkään yksi luku. Millä todennäköisyydellä valittu luku on
a) parillinen
b) jaollinen viidellä
c) jaollinen kolmella?
176.
Thomas, Matias ja Joona halusivat tietää todennäköisyydet herneenpalkosta löytyvien herneiden määrille. Kukin heistä avasi $30$ palkoa seuraavin tuloksin: Herneiden lukumäärä 4 5 6 7 8
Thomas 0 10 3 11 6
Matias 3 5 9 8 5
Joona 2 6 12 9 1
a) Kirjoita jokaisen tutkimuksista erikseen saadut todennäköisyydet, että herneenpalkossa on 4, 5, 6, 7 tai 8 hernettä.
b) Yhdistä tutkimustulokset ja muodosta niistä vastaavat todennäköisyydet.
c) Kuinka monta hernettä yhdessä palossa todennäköisimmin on?
177.
Rahapussissa on yksi kahden euron kolikko, kaksi euron kolikkoa, neljä 50 sentin kolikkoa, viisi 20 sentin kolikkoa ja kolme 5 sentin kolikkoa. Millä todennäköisyydellä rahapussista umpimähkään valittu kolikko on
a) $50$ senttiä
b) pienempi kuin $50$ senttiä
c) kaksivärinen?
178.
Jos Leeville syötetään ottelussa jalkapallo, hän saa potkaistua palloa todennäköisyydellä 0,3 ja pukattua todennäköisyydellä 0,1. Eräässä ottelussa Leeville tehdään $120$ syöttöä. Kuinka monta kertaa
a) Leevi todennäköisesti käyttää ottelussa päätään pallon pukkaamiseen?
b) Leeviltä menee pallo ohi?
179.
Millä todennäköisyydellä lausekkeen $P(x)=2x+1$arvosta tulee suurempi kuin $10$, kun $x$ määräytyy heittämällä kerran noppaa?
180.
Oletetaan, että Suomen itsenäisyyspäivä (6.12.) on satunnaisesti eri viikonpäivinä. Millä todennäköisyydellä itsenäisyyspäivä, joulupäivä (25.12.) ja tapaninpäivä (26.12.) sattuvat samana vuonna kaikki arkipäiviksi maanantaista perjantaihin? (yo kevät 1977)