Vaihtoehdot

Todennäköisyyslaskentaa

Erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö

Toinen todennäköisyyslaskennan peruslaskutoimituksista on yhteenlasku. Yhteenlaskun avulla tarkastellaan saman satunnaisilmiön erilaisia tapahtumismahdollisuuksia. Tällainen on esimerkiksi tilanne, jossa kysytään todennäköisyyttä saada nopanheitossa silmäluvuksi viisi tai kuusi. Samanaikaisesti ei voida saada molempia, mutta näistä kelpaa tulokseksi kumpikin. Yhteenlaskun avulla lasketaan todennäköisyys sille, että kahdesta samanaikaisesti esiintymättömästä tapauksesta jompikumpi esiintyy. Tapahtumia ”saadaan viitonen” ja ”saadaan kuutonen” kutsutaan erillisiksi tapahtumiksi.

Erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö

Jos A ja B ovat erillisiä tapahtumia eli niillä ei ole yhteisiä alkeistapauksia, niin todennäköisyys, että A tai B tapahtuu on $$ P(\text{A tai B}) = P(A) + P(B) $$

Kertolasku- ja yhteenlaskusääntöjen soveltamisessa on syytä olla tarkkana. Laskusääntöjen käytön hahmottaminen helpottuu, kun tilanne kirjoitetaan yksityiskohtaisesti paperille. Ja-sanan kohdalla on kyseessä kertolasku. Tai-sanan kohdalla on kyseessä yhteenlasku.

Esimerkki 1

Lasketaan todennäköisyys, että yhdellä nopalla heitettäessä saadaan silmäluvuksi viitonen tai kuutonen

$$\begin{align*} P(\text{viitonen tai kuutonen}) &= P(\text{viitonen}) + P(\text{kuutonen}) \\ &=\frac16 + \frac16 = \frac 26 = \frac13 \end{align*}$$
Esimerkki 2
Nostetaan korttipakasta yksi kortti. Lasketaan, millä todennäköisyydellä kortti on ruutu tai hertta. $$\begin{align*} P(\text{ruutu tai hertta}) &= P(\text{ruutu}) + P(\text{hertta}) \\ &=\frac{13}{52} + \frac{13}{52} = \frac {26}{52} = \frac12 \end{align*}$$
Esimerkki 3

Kulhosta, jossa on $13$ punaista palloa ja $15$ sinistä palloa, nostetaan peräkkäin kaksi palloa. Millä todennäköisyydellä pallot ovat eriväriset?

Ratkaisu:

Tilanne toteutuu kun ensimmäinen pallo on punainen ja toinen sininen tai ensimmäinen pallo on sininen ja toinen punainen.

$$\begin{align*} P(\text{eriväriset pallot}) &= P(\text{punainen})\times P(\text{sininen}) + P(\text{sininen})\times P(\text{punainen}) \\ &=\frac{13}{28}\times\frac{15}{27} + \frac{15}{26}\times\frac{13}{27}\\ &= \frac {65}{126} \approx 0.516 \approx 52\% \end{align*}$$
Esimerkki 4

Monivalintakokeessa on jokaiselle vastaukselle annettu $3$ vastausvaihtoehtoa, joista yksi on oikea. Mikä on todennäköisyys, että oppilas, joka vastaa kokeeseen arvaamalla, saa kolmesta tehtävästä oikein vain yhden?

Ratkaisu:

Yksi oikea vastaus saadaan, jos ensimmäinen tehtävä on oikein ja toinen väärin ja kolmas väärin. Oikea vastaus voi osua ensimmäiseen tai toiseen tai kolmanteen tehtävään.

$$\begin{align*} P(\text{saadaan yksi oikea vastaus}) &=\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3} \\ &= \frac {4}{9} \approx 0.44 = 44\% \end{align*}$$
253.
Perheessä on kaksi tyttöä. Millä todennäköisyydellä perheeseen seuraavana syntyvä lapsi on tyttö tai poika?
254.
Keksi kolme esimerkkiä erillisistä tapahtumista.
255.
Heitetään kolikkoa. Millä todennäköisyydellä saadaan kruuna tai klaava?
256.
Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu henkilö on syntynyt maanantaina, tiistaina tai keskiviikkona?
257.
Luokan oppilaista $5 \%$ sai maantiedon kokeesta arvosanan $10$ ja $17 \%$ arvosanan $9$. Millä todennäköisyydellä luokasta umpimähkään valittu oppilas sai arvosanaksi $9$ tai $10$?
258.
Korttipakasta nostetaan yksi kortti. Millä todennäköisyydellä kortti on pata tai risti?
259.
Erään koulun oppilaista 15-vuotiaita on $30 \%$ ja 14-vuotiaita on $40 \%$. Kuinka suuri osa opiskelijoista on 14- tai 15-vuotiaita?
260.
Heitetään kerran noppaa. Millä todennäköisyydellä pisteluvuksi tulee $1$ tai $2$?
261.
Heitetään kerran noppaa. Millä todennäköisyydellä tulos on pariton?
262.
Luokan oppilaista $70 \%$ on sinisilmäisiä ja $10 \%$ vihreäsilmäisiä. Millä todennäköisyydellä luokasta umpimähkään valitulla oppilaalla on siniset tai vihreät silmät?
263.
Korttipakasta otetaan yksi kortti. Millä todennäköisyydellä se on
a) jätkä, kuningatar tai kuningas
b) musta kuningas tai punainen kuningatar?
264.
Laatikossa on sukkapareja seuraavasti: kolmet siniset, kuudet mustat, kahdet vihreät ja neljät harmaat. Otat niistä umpimähkään jotkut. Millä todennäköisyydellä saat
a) mustat tai harmaat
b) siniset tai vihreät
c) jotkut muut kuin mustat?
265.
Millä todennäköisyydellä luvuista 11—19 umpimähkään valittu luku on jaollinen kahdella tai viidellä?
266.
Noppaa heitetään neljä kertaa. Laske todennäköisyys sille, että saadaan täsmälleen yksi kakkonen.
267.
Luokassa on $17$ poikaa ja $21$ tyttöä. Järjestäjiä on aina kaksi kerrallaan ja ne valitaan arpomalla. Millä todennäköisyydellä ensimmäisistä järjestäjistä ainakin toinen on tyttö?
268.
Jos viisi lamppua kytketään sarjaan, ei mikään lamppu pala yhden lampun rikkoontuessa. Jos viisi lamppua kytketään puolestaan rinnakkain, ei yhden lampun rikkoontuminen estä muita lamppuja palamasta. Lamput palavat todennäköisyydellä $0,93$ ja ei pala todennäköisyydellä $0,07$. Mikä on todennäköisyys, että
a) sarjaan kytketyt lamput palavat (piirrä myös kytkentäkaavio)
b) rinnakkain kytketyistä lampuista ainakin yksi palaa (piirrä myös kytkentäkaavio)?
269.
Viivin työmatkalla on kahdet liikennevalot. Kokemus on osoittanut, että Viivin saapuessa paikalle ensimmäisissä valoissa palaa punainen kolmena arkiaamuna ja seuraavissa kahtena arkiaamuna. Mikä on todennäköisyys, että Viivi joutuu pysähtymään
a) ainakin toisissa valoissa
b) molemmissa valoissa?
270.
Mitä mediaanilla tarkoitetaan todennäköisyysjakaumassa?
271
Prinsessalla on kahdessa astiassa helmiä. Toisessa on $50$ aitoa helmeä ja toisessa 50 muovihelmeä. Kuningas on määrännyt, että jokainen vieras saa Prinsessalta helmen. Vieras joutuu ensiksi valitsemaan kummasta astiasta hän aikoo helmen ottaa. Miten Prinsessan kannattaa sekoittaa helmet, jotta vieras ottaisi todennäköisimmin muovihelmen?
272.
Suomalaisten veriryhmäjakauma on seuraava: A $44 %$, B $17 \%$, AB $8 \%$ ja O $31 \%$. Millä todennäköisyydellä puolisot kuuluvat samaan veriryhmään? (yo syksy 1993)
273.
Sanan YLIOPPILAS kymmenestä kirjaimesta otetaan umpimähkään kolme. Millä todennäköisyydellä
a) ensiksi otettu kirjain on vokaali
b) otetuista kirjaimista vain yksi on vokaali
c) otetuista kolmesta kirjaimesta voidaan muodostaa sana ILO? (yo kevät 2001)
274.
Koulusta myöhästynyt oppilas myöhästyy seuraavanakin koulupäivänä 30 prosentin todennä-köisyydellä. Jos oppilas on tullut ajoissa kouluun, hän myöhästyy seuraavana koulupäivänä 10 prosentin todennäköisyydellä. Kuinka suuri on todennäköisyys, että oppilas tulee keski-viikkona ajoissa kouluun, jos hän saman viikon maanantaina myöhästyi koulusta? (yo kevät 1992)