Vaihtoehdot

Todennäköisyyslaskentaa

• Todennäköisyyden määrittäminen
• Klassinen todennäköisyys
• Tilastollinen ja geometrinen todennäköisyys
• Malleja alkeistapausten muodostamiseksi
• Riippumattomien tapahtumien kertosääntö
• Yleinen kertosääntö
• Erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö
• Vastatapahtuma

Malleja alkeistapausten muodostamiseksi

Todennäköisyyksiä laskettaessa on selvitettävä suotuisten ja kaikkien alkeistapausten lukumäärä. Jos alkeistapauksia on paljon, on niiden luetteleminen työlästä. Alkeistapausten lukumäärän selvittämiseksi onkin kehitetty erilaisia menetelmiä.

Miisalla on lomamatkalla mukana kolme paitaa, kahdet housut ja kaksi paria kenkiä. Lasketaan, montako asukokonaisuutta hän voi niistä muodostaa.

Sama tulos saadaan myös kertolaskulla:

$$3\times 2 \times 2 = 12$$

Kysytty asukokonaisuuksien lukumäärä saatiin siis kertomalla keskenään eri vaiheissa olevien vaihtoehtojen lukumäärät. Periaatetta sanotaan tuloperiaatteeksi.

Lasketaan, monellako eri tavalla kolme henkilöä $A$, $B$ ja $C$ voivat asettua riviin.

Rivin ensimmäinen henkilö voidaan valita kolmella eri tavalla, toinen henkilö kahdella eri tavalla ja kolmas henkilö yhdellä tavalla. Joten henkilöt voivat asettua riviin $3\times2\times1=6$ eri tavalla.

Tälle on olemassa oma matemaattinen merkkinsä, eli kertoma. Luvun 3 kertoma on $3! = 3\times 2 \times 1 = 6$. Siispä luvun kuusi kertoma on $6! = 6\times 5\times 4\times 3\times 2 \times 1=6\times 5\times 4\times 3! = 720$.

Heitetään kahta noppaa. Millä todennäköisyydellä
a) kummassakin nopassa on pistelukuna vähintään 4
b) pistelukujen summa on enintään 5?
Ratkaisu:
a) Suotuisia pareja on 9 kpl (ruudukossa merkittynä a)), joten $$P(\text{kummassakin nopassa vähintään 4}) = \frac{9}{36}=\frac14 = 25\% $$
b) Suotuisia pareja on nyt 10 kpl (ruudukossa merkittynä b)), joten $$P(\text{pistelukujen summa enintään 5}) = \frac{10}{36}\approx27.7778\%\approx 28\%$$

Sattumia vaiko ei?

Annu ja Verneri suunnittelivat häitään ja olivat huolissaan, jos jonkun häävieraan matkapuhe-lin sattuu soimaan vihkimisen aikana pilaten tunnelman. He tiesivät, että todennäköisyys, ettei henkilö osaa laittaa matkapuhelintaan äänettömälle on $1/100$.

Niinpä Annu ja Verneri suunnittelivat ottavansa vihkimistilaisuuteen mukaan oman matkapuhelimensa, jossa on uusi liittymä ja jonka numeroa ei ole vielä kukaan tiedä ja jättävänsä puhelimen äänet päälle. He laskivat, että tällöin todennäköisyys, että kahdella henkilöllä olisi puhelimessa äänet päällä, on vain $1/10000$.

Kyseessä on yleinen todennäköisyyttä koskeva erehdys. Jos kahdella toisistaan riippumattomalla tapauksella on kummallakin todennäköisyys $1/100$, niin niiden yhtäaikaisen toteutumi-sen todennäköisyys kylläkin on $1/100\times 1/100 = 1/10000$. Tässä tapauksessa todennäköisyyslaskennan kertosääntöä ei kuitenkaan voi käyttää, sillä toinen (hääparin oma) matkapuhelin ei enää ole satunnaistapaus, vaan varma tapaus.

Tiedetään, että matkapuhelin on varmasti päällä ja tätä puhelinta koskeva todennäköisyys on siten yksi. Annu ja Verneri eivät siis voi itse muuttaa sitä todennäköisyyttä, että yksi sadasta jättää puhelimeensa äänet päälle. Todennäköisyys, että kahdella häävieraalla on matkapuhelimessa äänet päällä, on tuo yksi kymmenestä-tuhannesta.