Vaihtoehdot
Todennäköisyyslaskentaa
Vastatapahtuma
Jos kaikkien suotuisien alkeistapauksien läpikäyminen on työlästä, voi lasku helpottua huomattavasti
hyödyntämällä vastatapahtumaa. Vastatapahtumalla tarkoitetaan epäonnistumista.
Esimerkiksi,
jos arpajaisissa voittaa 5 % todennäköisyydellä, niin arvan, jossa ei ole voittoa, nostaa 95 %
todennäköisyydellä.
Tapahtuman $A$ vastatapahtuman $\bar A$ todennäköisyys on
$$ P(\bar A) = 1- P(A) $$
Esimerkki 1
Laitteessa voi esiintyä kaksi toisistaan riippumatonta vikaa A ja B, joiden esiintymistodennäköisyydet
ovat $0,2$ ja $0,4$. Lasketaan todennäköisyys
a) $P(\text{laitteessa esiintyy molemmat viat}) = P(\text{A ja B}) = 0,2\times0,4 = 0,08$
b) $P(\text{laitteessa ei esiinny kumpikaan vioista}) = P(\bar A\text{ ja }\bar B) = (1- 0,2) \times (1- 0,4) = 0,48$
Vastaus: Molemmat viat esiintyvät $8 \%$:n todennäköisyydellä ja $48 \%$:n todennäköisyydellä
laitteessa ei ole kumpaakaan vikaa.
275.
Onni voittaa arpajaisissa todennäköisyydellä $0,6$. Millä todennäköisyydellä hän ei voita?
276.
Tulli tarkistaa $4 \%$ matkustajista. Kuinka suurella todennäköisyydellä matkustaja välttyy tullitarkastukselta?
277.
Tikanheittäjä osuu kymppiin todennäköisyydellä $0,08$. Millä todennäköisyydellä hän saa korkeintaan yhdeksikön?
278.
Nannan koulumatkalla on yhdet liikennevalot. Todennäköisyys, että valot ovat punaiset, on $0,34$. Millä todennäköisyydellä Nannan ei tarvitse pysähtyä risteykseen?
279.
Vilma voi mennä aamuisin töihin linja-autolla, junalla tai omalla autolla. Todennäköisyydellä $0,5$ hän menne linja-autolla ja junalla todennäköisyydellä $0,3$. Millä todennäköisyydellä Vilma
a) ei mene junalla töihin
b) menee töihin omalla autolla?
280.
Tiira osuu tikanheitossa kymppiin todennäköisyydellä $0,35$. Millä todennäköisyydellä hän osuu korkeintaan yhdeksikköön?
281
.
Jenna pukeutuu farkkuihin todennäköisyydellä $0,55$ ja puuvillahousuihin todennäköisyydellä $0,32$. Muulloin hän käyttää hametta. Arvioi monenako päivänä vuodessa Jennalla on hame päällä?
282.
Samin koulumatkalla on kolmet toisistaan riippumattomat liikennevalot. Ne näyttävät vihreää todennäköisyyksillä $0,3$, $0,2$ ja $0,5$. Millä todennäköisyydellä Samin ei koulumatkallaan tarvitse pysähtyä kertaakaan liikennevaloihin?
283.
Tehtaan tuotteista $1 \%$ on viallisia. Tuotteista valitaan umpimähkään viisi. Millä todennäköisyydellä kaikki ovat ehjiä?
284.
Oppilaat tutkivat avainnippujaan ja saivat seuraavat todennäköisyydet sille, montako avainta heidän nipuissaan todennäköisesti on.
avainten lukumäärä
1
2
3
4
>4
todennäköisyys
0,41
0,27
0,08
0,03
a) Millä todennäköisyydellä nipussa on kolme avainta?
b) Millä todennäköisyydellä siinä on enintään kolme avainta?
c) Jos koulun pihalta löytyy kymmenet avaimet, monessako niistä on todennäköisesti kaksi avainta?
285.
Laitteessa voi olla kaksi toisistaan riippumatonta vikaa A ja B, joiden esiintymistodennäköi-syydet ovat $0,4$ ja $0,5$. Millä todennäköisyydellä laitteessa esiintyy
a) molemmat viat
b) ei kumpaakaan vioista?
286.
Basilikan siemen itää todennäköisyydellä $0,96$. Millä todennäköisyydellä kylvetyistä $20$ siemenestä ei yksikään idä?
287.
Eemeli saa vapaaheitossa korin $80 \%$ ja Samuli $70 \%$ todennäköisyydellä. Kumpikin heittää yhden vapaaheiton. Millä todennäköisyydellä
a) molemmat saavat korin
b) kumpikaan ei saa koria?
288.
Koripalloilija saa vapaaheitosta korin todennäköisyydellä $0,8$. Millä todennäköisyydellä kolmesta heitosta menee koriin
a) kaikki
b) kaksi
c) ainakin kaksi?
289.
Pojat pelaavat pistekilpailua koripallolla. Leevi voittaa, jos hän saa viidestä heitosta edes kaksi koriin. Korin hän tekee todennäköisyydellä $0,7$. Millä todennäköisyydellä Leevi voittaa?
290.
Neljä keilaajaa saa kaadon $30 \%$, $50 \%$, $60 \%$ ja $80 \%$ todennäköisyyksillä. Jokainen keilaa kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan
a) neljä kaatoa
b) ainakin yksi kaato?
291.
Tuotteessa voi olla kaksi toisistaan riippumatonta vikaa, joiden esiintymistodennäköisyydet ovat $0,2$ ja $0,3$. Millä todennäköisyydellä tuotteessa esiintyy
a) molemmat viat
b) ei kumpaakaan vioista?
292.
Millä todennäköisyydellä kolmella nopalla heitettäessä saadaan ainakin yksi kuutonen?
293.
Korttipakassa on $52$ korttia, joista $4$ on ässiä. Pelaaja ottaa umpimähkään pakasta $4$ korttia. Mikä on todennäköisyys, että
a) kaikki ovat ässiä,
b) mikään ei ole ässä? (yo syksy 1992)