Vaihtoehdot
Todennäköisyyslaskentaa
Riippumattomien tapahtumien kertosääntö
Kertolasku ja yhteenlasku ovat todennäköisyyslaskennan peruslaskutoimituksia. Kertolaskun
avulla lasketaan todennäköisyys usean tapahtuman samanaikaiselle esiintymiselle. Yhteenlaskun
avulla puolestaan tarkastellaan saman satunnaisilmiön erilaisia tapahtumismahdollisuuksia.
Riippumattomien tapahtumien kertosääntö
Jos tapahtumat $A$ ja $B$ eivät mitenkään vaikuta toisiinsa eli ne ovat toisistaan riippumattomia,
on todennäköisyys, että ”A ja B tapahtuvat”
$$P(A \text{ ja } B) = P(A)\times P(B)$$
Esimerkiksi nopanheitossa saadut silmäluvut ovat riippumattomia toisistaan. Noppa ei ”muista”
minkä tuloksen antoi viimeksi ja jätä antamatta samaa pistelukua.
Esimerkki 1
Heitetään noppaa neljä kertaa. Lasketaan, millä todennäköisyydellä saadaan joka kerralla sama
pisteluku.
$$\frac66 \times \frac16\times \frac16\times \frac16\times \frac16=\frac1{216}\approx 0.0046$$
Koska ensimmäinen silmäluku saa olla mikä tahansa ($\frac66$), mutta seuraavien kolmen pitää olla sama kuin ensimmäisen.
Esimerkki 2
Ihmiset voidaan jakaa ryhmiin veren perusteella sen mukaan, mihin veriryhmään (A, B, AB ja
O) tai mihin Rhesus-luokkaan (Rh + tai Rh -) he kuuluvat. Jokainen ihminen kuuluu yhteen
veriryhmään ja yhteen Rhesus-luokkaan. Etsi internetistä, kuinka monta prosenttia suomalaisista kuuluu mihinkin veriryhmään.
Veriryhmä ja Rhesus-luokka ovat toisistaan riippumattomia eli veriryhmän perusteella ei voi
päätellä kumpaan Rhesus-luokkaan henkilö kuuluu.
Mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valitun suomalaisen
a) veriryhmä on O?
b) veriryhmä on AB ja Rhesus-luokka on negatiivinen eli henkilön kuuluu ryhmiin AB ja
Rh- ?
Ratkaisu:
a) $P(\text{veriryhmä on O}) = 0,3 = 30 \%$
b) $P(\text{AB ja Rh-}) = P(AB)\times P(Rh-) = 0,08\times 0,16 = 0,013 =1,3 \%$
217
Noppaa heitetään viisi kertaa, millä todennäköisyydellä joka kerta saadaan pisteluvuksi $6$?
218
Kolikkoa heitetään $10$ kertaa. Millä todennäköisyydellä joka kerta saadaan tulokseksi klaava?
219
Korttipakasta nostetaan yksi kortti ja se laitetaan takaisin korttipakkaan. Millä todennäköisyydellä
saadaan täsmälleen sama kortti uudestaan?
220
Laatikossa on neljä oranssia ja $3$ violettia palloa. Laatikosta nostetaan kaksi palloa niin, että
ennen toisen pallon nostamista ensimmäinen pallo palautetaan laatikkoon. Millä todennäköisyydellä
molemmat pallot ovat
a) oransseja
b) violetteja?
221
Kolikkoa heitetään $8$ kertaa. Millä todennäköisyydellä joka kerta saadaan tulokseksi klaava?
222
Persiljan siemenen itämistodennäköisyys on $98 \%$. Millä todennäköisyydellä $50$ kylvetystä
siemenestä kaikki itävät?
223
Heitetään kerran noppaa ja kolikkoa. Millä todennäköisyydellä saadaan nelonen ja klaava?
224
Suomen asukasluku on noin $5 200 000$.
a) Monenko suomalaisen veriryhmä on AB?
b) Millä todennäköisyydellä suomalaisen veriryhmä on A ja Rhesus-luokka Rh+?
225
Heitetään kahta noppaa. Millä todennäköisyydellä saadaan kaksi kuutosta?
226
Heitetään noppaa viisi kertaa. Millä todennäköisyydellä saadaan joka kerralla sama pisteluku?
227.
Luokan oppilaista puolet oli tyttöjä ja neljäsosa vihreäsilmäisiä. Kuinka suuri osuus luokan
oppilaista oli vihreäsilmäisiä poikia, kun tiedetään, että sukupuoli ja silmienväri ovat riippumattomia
ominaisuuksia?
228.
Kolikkoa on heitetty $10$ kertaa ja tulokseksi on joka kerralla saatu klaava. Millä todennäköisyydellä
seuraavakin heitto on klaava?