Vaihtoehdot
Todennäköisyyslaskentaa
Tilastollinen ja geometrinen todennäköisyys
Tilastollinen todennäköisyys liittyy tapahtumiin, joita voidaan selittää joko tilastojen tai kokeellisten
havaintojen avulla.
Kun toistojen lukumäärä $n$ on riittävän suuri ja $f$ on tapahtuman $A$
esiintymiskertojen lukumäärä,
niin tapahtuman $A$ tilastollinen todennäköisyys on
$$ P(A) = \frac1n$$
Geometrinen todennäköisyys lasketaan kuten klassinen todennäköisyys, mutta siinä verrataan
toisiinsa geometrisia kuvioita, kuten janojen pituuksia, alueiden pinta-aloja ja kappaleiden
tilavuuksia.
Esimerkki 1.
Miten voidaan laskea syntyvän lapsen sukupuolen todennäköisyys,
kun tapahtuma ei ole
symmetrinen? Poikia nimittäin syntyy enemmän kuin tyttöjä niin
Suomessa kuin muuallakin
maailmassa.
Ratkaisu:
Suomen tilastollisen vuosikirjan (1998) mukaan vuosina 1990—1997
Suomessa syntyi 510 851
lasta, joista tyttöjä oli 250 227. Tyttöjen osuus tämän perusteella on
$$\frac{250 227}{510 851}\approx 0,4889 \approx 49 \%$$
Voidaan olettaa, että tyttöjen osuus säilyy tulevaisuudessakin samana, joten
$P(\text{seuraava Suomessa syntyvä lapsi on tyttö}) = 49 \%$
Laske sama todennäköisyys uudemmasta tilastosta (hae netistä).
Onko todennäköisyys muuttunut?
Esimerkki 2.
Viola on sopinut tapaavansa Tomaksen kahvilassa klo 15.00 ja klo 16.00 välillä.
Tomas saapuu
paikalle klo 15.40. Millä todennäköisyydellä Viola ei joudu odottamaan?
Ratkaisu:
Tunnissa on ääretön määrä ajanhetkiä, joten niiden kaikkien luetteleminen ei
ole mahdollista.
Perusjoukkoa ja alkeistapahtumia on tarkasteltava nyt geometrisesti.
$$P(\text{Viola ei joudu odottamaan}) = \frac{20\text{ min}}{60\text{ min}} = \frac13\approx 0.33 = 33\%$$
Vastaus: Todennäköisyys on $0.33$.
Ps. Tästäkin voidaan saivarrella aika tavalla. Herrasmiehenä Tomaksenhan pitää
toimia siten, että neidon ei pidä odotella?
181.
Heitetään noppaa. Millä todennäköisyydellä silmäluvuksi saadaan $6$? Miten voit tarkistaa tuloksen
tilastollisesti?
182.
Nastaa heitettiin $1000$ kertaa ja näistä $620$ kertaa kärki jäi ylöspäin. Laske tämän perusteella
todennäköisyys, että nastaa heitettäessä kärki jää ylöspäin.
Tarkista itse heittämälä nastaa riittävästi. Taulukoi tuloksesi ja piirrä siitä kuvaaja.
183.
Golfpallo lyödään umpimähkään kuvan mukaiselle kentälle. Millä todennäköisyydellä pallo
laskeutuu
a) viheriölle
b) hiekkaesteeseen
c) muualle kuin viheriölle tai hiekkaesteeseen?
184.
$65$ metriä pitkä vesiputki on mennyt tukkoon. Mikä on todennäköisyys, että tukos on ensimmäisen
$5$ metrin matkalla?
Huom! Mitä oletuksia Sinun tulee tehdä, jotta osaat laskea tehtävän? Ovatko ne järkeviä, esim tukkeutumista aiheuttavien aineiden kulkeutumisen kannalta?
185.
Matematiikan kurssista annettiin $23$ oppilaan luokassa oheisen taulukon mukaiset arvosanat.
arvosana lukumäärä
4 2
5 2
6 3
7 6
8 5
9 4
84
10
1
Millä todennäköisyydellä luokasta umpimähkään valittu oppilas sai arvosanaksi
a) hylätyn
b) paremman kuin seiskan
c) vähintään kuutosen?
186.
Heitetään noppaa $5 000$ kertaa. Montako
a) kolmosta,
b) parillista pistelukua on odotettavissa?
Koodaa sama juttu Pythonilla.
187.
Eräällä äänestysalueella äänet jakautuivat kolmen puolueen kesken siten, että ensimmäinen puolue sai $890$ ääntä, toinen $1230$ ääntä ja kolmas $435$ ääntä. $560$ äänioikeutettua jätti äänestämättä. Mikä on tämän perusteella todennäköisyys jättää äänestämättä seuraavissa vaaleissa?
188.
Noppaa heitettiin $1000$ kertaa ja saatiin seuraavat tulokset: Ykkösiä $175$ kpl, kakkosia $154$ kpl, kolmosia $151$ kpl, nelosia $176$ kpl, viitosia $166$ kpl ja kuutosia $178$ kpl.
a) Laske pistelukujen suhteelliset osuudet.
b) Jos noppaa heitettäisiin $1 000 000$ kertaa, niin mitä lukuja pistelukujen suhteelliset osuudet lähestyvät?
189.
Rannekellon paristosta loppuu virta satunnaisena ajankohtana. Millä todennäköisyydellä virta loppuu päivällä klo: 12.00—15.00?
190.
Sinun on arvattava sinulle tuntemattoman suomalaisen henkilön sukunimi. Oikeasta arvauk-sesta sinulle maksetaan $50$ €. Mikä nimi kannattaa sanoa?
191.
Tutkittaessa $800$ leivänpaahtimen kestoikää saatiin seuraava tulos.
kestoikä [vuosi]
lukumäärä
alle 2
42v
2 - 4
68
5 - 7
277
8 - 10
331
yli 11
82
Millä todennäköisyydellä leivänpaahdin kestää
a) alle $5$ vuotta
b) yli $8$ vuotta
c) ainakin kaksi vuotta?
192.
Millä todennäköisyydellä
meteoriitti putoaa maahan eikä meteen?
193.
Metro lähtee asemalta kymmenen minuutin välein. Millä todennäköisyydellä asemalle satunnaisesti
saapunut henkilö joutuu odottamaan metron lähtöä enintään $5$ minuuttia?
194.
Kioski ottaa kesäksi myyntiin irtojäätelöä. Valikoimaksi halutaan vaniljaa, mansikkaa, suklaata,
lakritsia, kinuskipähkinää ja mangomelonia. Viimevuonna vaniljaa osti joka viides, suklaata
joka kolmas, mansikkaa joka neljäs ja lakritsaa joka kuudes. Kinuskia ja mangomelonia ei
edellisenä kesänä ollut myynnissä, mutta naapurikaupungissa halusi ostaja jompaa kumpaa
todennäköisyydellä $0.1$. Kauppias tilaa aluksi $100$ litraa jäätelöä. Miten paljon kannattaa ottaa
mitäkin? Jäätelöt myydään viiden litran paketeissa.
195.
Onnenpyörässä on neljä voittosektoria, joiden kunkin keskuskulma on $15^\circ$. Millä todennäköisyydellä
henkilö voittaa yhdellä pyöräytyksellä?
196.
Bussi pysähtyy pysäkille $20$ yli ja $20$ vaille tasatunnin. Pysähdys kestää $5$ minuuttia. Marko,
joka ei tiedä bussiaikatauluja, saapuu pysäkille. Millä todennäköisyydellä
a) hänen ei tarvitse odottaa lainkaan bussia
b) hän joutuu odottamaan enemmän kuin 20 minuuttia
c) hän joutuu odottamaan vähemmän kuin 10 minuuttia?
197.
Kivi heitetään umpimähkään ympyrään. Millä todennäköisyydellä se osuu lähemmäksi ympyrän
keskipistettä kuin kehää? (yo kevät 1998)