Yhtälöt
Yhtälön ratkaiseminen
Strategiana on siirtää tuntematon (yleensä) $x$ yhtäsuuruusmerkin ($=$) vasemmalle puolelle, ja vakiot (numerot) yhtäsuuruusmerkin oikealle puolen. Niitä saa siirtää puolittain, eli lisäämällä molemmille puolille yhtä paljon tavaraa. Lopuksi yhtälö jaetaan tuntemattoman ($x$) edessä olevalla kertoimella. Katso esimerkkejä alta. Algoritmi on siis seuraava:
- Siirrä vakiot oikealle puolelle ja laske ne yhteen.
- Siirrä tuntemattomat vasemmalle puolelle ja laske ne yhteen.
- Jos tuntemattomalle jää jokin kerroin, jaa sillä.
- Tarkista vastaus.
Esimerkeissä näkyy myös matemaattisen kirjoittamisen malli. Sulkeissa olevia tekstejä ei tarvitse kirjoittaa, mutta muut pitäisi.
Huomaa esimerkeissä näkyvä "muuri" $||$, jonka jälkeen kerrotaan mitä yhtälölle tehdään. Sen näkyvyys on hyvin tärkeä.
Esimerkki 1
Ratkaistaan yhtälö $x - 2 = 5$.
$$\begin{align*}
x-2 &= 5 &&\text{(Luku } -2 \text{ on väärällä puolella)} \\
x-2 &= 5 \hspace{2cm}||+2 &&\text{(Lisätään yhtälöön puolittain } +2)\\
x-2 +2 &= 5+2 \\
x &= 7 \\
\end{align*}$$
Hyvään tapaan kuuluu myös tarkistaa yhtälö. Tehdään se sijoittamalla äsken saatu $x$:n arvo $x=5$ yhtälön vasemmalle puolen ja katsotaan tuleeko siitä oikea puoli:
$$x-2 = 7-2 = 5$$
joka on oikea puoli. Täsmää!
Esimerkki 1
Ratkaistaan yhtälö $7x +1= 6x + 4$. Nyt vakioita ($1$) on yhtäsuuruusmerkin vasemmalla puolella ja tuntemattomia ($6x$) on yhtäsuuruusmerkin oikealle puolen. Ne pitää ensin siirtää oikeille puolin.
$$\begin{align*}
7x+1 &= 6x+4 \hspace{2cm}||-1&&\text{(Lisätään yhtälöön puolittain } -1) \\
7x+1-1 &= 6x+4-1 \hspace{2cm}||-1&&\text{(Lasketaan luvut)} \\
7x &= 6x+3 \hspace{2cm}||-6x&&\text{(Vähennetään )} +6x \\
7x-6x &= 3\\
x &= 3
\end{align*}$$
Hyvään tapaan kuuluu myös tarkistaa yhtälö. Tehdään se sijoittamalla äsken saatu $x$:n arvo $x=3$ alkuperäiseen yhtälöön ja katsotaan täsmääkö se:
Vasen puoli: $7x+1 = 7\times3+1=21+1=22$
Oikea puoli: $6x+4 = 6\times 3 +4 = 18+4=22$. Täsmää!
Esimerkki 3
Ratkaistaan yhtälö $5x +1=2x - 2$.
$$\begin{align*}
5x +1&=2x - 2 \hspace{2cm}|| -1 &&\text{(Siirrä vakiot oikealle)}\\
5x+1-1 &= 2x -2 -1 \hspace{2cm} || -2x &&\text{(Siirrä tuntemattomat vasemmalle)}\\
5x-2x &= -3 \\
3x &= -3 \hspace{2cm}||/3 &&\text{(Jaa tuntemattoman kertoimella)}\\
x &= -\frac33\\
x& =-1
\end{align*}$$
Hyvään tapaan kuuluu myös tarkistaa yhtälö. Tehdään se sijoittamalla äsken saatu $x$:n arvo $x=-1$ alkuperäiseen yhtälöön ja katsotaan täsmääkö se:
Vasen puoli: $5x+1 = 5\times(-1)+1=-5+1=-4$
Oikea puoli: $2x-2 = 2\times(-1)-2 =-2-2=-4$. Täsmää!
1.
Sievennä.
a) $3x -1+ x - 4$
b) $5x + 4- 2x + 7$
c) $- 4x -1+5+ x$
d) $-9x -3x +9$
2
Ratkaise $x$.
a) $x +1= 0$
b) $x -1= 0$
c) $x+2 =1$
d) $x -2 =-1$
e) $2- x =1$
27.
Ratkaise yhtälöt.
a) $x + 7 =15$
b) $x -3 = 6$
c) $x -1=-4$
d) $x +3 =-3$
e) $x - 2 =-3$
28.
Ratkaise yhtälöt.
a) $2a +1= 9$
b) $4b -1=11$
c) $-5c +3 = 18$
d) $\frac14 d-1=7$
e) $-2e =-1$
30.
Ratkaise yhtälöt.
a) $2x -6 = 0$
b) $x + 3 = 0$
c) $-5x +10 = 0$
d) $-3x -12 = 0$
31.
What is the value of $x$ in the following?
a) $6 = x - 2$
b) $-4 = 2x+ 6$
c) $3x - 2 = x$
d) $- 6x =-x$
32.
Ratkaise yhtälöt.
a) $3x =12$
b) $- 4y = 20$
c) $2x =16$
d) $- 5y =-15$
33.
Ratkaise yhtälön juuri.
a) $4x = 0$
b) $- x =-9$
c) $6z = 2$
d) $-3z = 9$
e) $y - y - y = 4+ 3$
35.
Ratkaise yhtälöt.
a) $5x +100=100$
b) $-2x -14= x -14$
c) $3x +a = a- 9$
d) $-6x - 4y =-4y -12$
36.
Mikä on yhtälön juuri?
a) $4x + 3 = 3x$
b) $x - 6x = 10$
c) $3y = 2y - 5$
d) $2y + y + 3y = y$
38.
Tee itse vaakatehtävä ja anna se vierustoverisi ratkaistavaksi.
39.
Mitä yhtälölle tapahtuu, kun sen molemmat puolet kerrotaan luvulla $–1$?
40.
Millä $x$:n arvolla binomi $5x –1$ saa arvon
a) $0$
b) $1$
c) $14$?
41.
Keksi yhtälö, jonka ratkaisu on $x = 2$.
42.
Osoita, että $x = 1$ on yhtälön $5x^3 -4x^2 + 7x-8=0$ ratkaisu.
43.
Millä $x$:n arvolla lausekkeet $2x+ 5$ ja $12+ x$ saavat saman arvon? DESMOS
44.
Millä $x$:n arvolla lausekkeet
a) A ja D ovat yhtä suuret
b) B ja C ovat yhtä suuret?
c) Mitkä kaksi lauseketta eivät voi olla yhtä suuria millään x:n arvolla?
45.
Ratkaise $x$ yhtälöstä.
a) $ax = b$
b) $-bx + 2a= 4a$
c) $a + x = b$
d) $a = 2x + b$
46.
Ratkaise $x^2 + 2x = 0$.
47.
Ratkaise yhtälö $3x + 4 =5 - 6x$. (yo kevät 2002)
48.
Määritä lausekkeen $x^2 - 6x+5$ arvo sillä $x$:n arvolla,
joka toteuttaa yhtälön $3x +1= 0$. (yo syksy
1998)