Yhtälöt
Nimittäjä yhtälössä
Muista taas että pystypalkkien (muurin, $||$) jälkeinen operaatio tulee kirjoittaa näkyviin.
Suluissa olevaa tekstiä ei tarvitse kirjoittaa omiin vastauksiin, mutta sen saa laittaa.
Esimerkki 1.
Ratkaistaan yhtälö $\frac x2-1=7$. Tässä on periaatteessa pari erilaista lähestymistapaa.
Ensimmäisessä poistetaan nimittäjä kertomalla yhtälö puolittain nimittäjällä:
$$\begin{align*}
\frac x2-1&=7 \hspace{2cm} || \times 2&&\text{(Poista nimittäjä)}\\
x-2&=14 \hspace{2cm} ||+2 &&\text{(Siirrä vakiotermit)}\\
x&=14+2\\
\alignedbox x{=16}
\end{align*}$$
Toinen tapa on ehkä elegantimpi, ja siinä lasketaan murtoluvuilla loppuun saakka:
$$\begin{align*}
\frac x2-1&=7 \hspace{2cm} || +1 &&\text{(Siirrä vakiotermi)}\\
\frac x2&=7+1 \hspace{2cm} ||+2 &&\text{(Ynnää)}\\
\frac x2&=8 \hspace{2cm} ||: \frac12 &&\text{(Jaa muuttujan kertoimella)}\\
\alignedbox x{=16}
\end{align*}$$
Tarkistetaan ratkaisu:
$$\begin{align*}
\frac {16}2-1&=7 \\
8-1&=7 \\
7&=7
\end{align*}$$
Esimerkki 2.
Ratkaistaan yhtälö $\frac x4 = \frac x8 +2$. Tehdään se taas kahdella eri tavalla.
$$\begin{align*}
\frac x4 &= \frac x8 +2 \hspace{2cm}||\times8 &&\text{(Poista nimittäjät)}\\
\frac{8x}{4} &= \frac{8x}{8x} + 2\times8 \\
2x &= x + 16 \hspace{2cm} ||-x &&\text{(Siirrä muuttujatermi)}\\
2x-x &= 16 \\
\alignedbox x{=16}
\end{align*}$$
Nyt toinen tapa, jossa lasketaan murtoluvuilla menee aika nätisti. Katso:
$$\begin{align*}
\frac x4 &= \frac x8 +2 \hspace{2cm}||-\frac x8 &&\text{(Siirrä muuttujatermi)}\\
\frac x4 - \frac x8 &= 2 && \text{(Lavenna samannimisiksi} \\
\frac{2x}8 - \frac x8 &= 2 \\
\frac{2x-x}8 &= 2 \\
\frac x8 &= 2 \hspace{2cm} || \times 8 &&\text{(Jaa muuttujan kertoimella)}\\
\alignedbox x{=16}
\end{align*}$$
Olihan siellä vieläkin jotain sumplimista lopussa murtolukujen kanssa.
Tarkistetaan silti
$$\begin{align*}
\frac {16}4 &= \frac {16}8 +2 \\
4 &=2+2\\
4&=4
\end{align*}$$
Täsmää, yhä.
Esimerkki 3.
Ratkaistaan yhtälö $\frac{-2x}5=8$.
$$\begin{align*}
\frac{-2x}5&=8 \hspace{2cm} ||\times5 \\
-2x &= 8\times5 \hspace{2cm}||:(-2) \\
x &= \frac{40}{-2}\\
\alignedbox x{ = -20}
\end{align*}$$
Toinen tapaa menee suoraan jakamalla muuttujan $x$ kertoimella, eli kertomalla kertoimen käänteisluvulla:
$$\begin{align*}
\frac{-2x}5&=8 \hspace{2cm} ||\times \frac5{-2} \\
x&=8\times\frac5{-2} \\
x&=-4\times 5\\
\alignedbox x{=-20}
\end{align*}$$
Huomaa, että murtolukujen laskutoimituksia ei hirveästi tässä kerrata. Jos haluat
kerrata niitä, katso täältä.
Tarkisteta itse.
70.
Laske ilman laskinta.
a)
$\frac12 + \frac23 $
b)
$\frac45 - \frac16$
c)
$\frac13 \times \frac 34$
d)
$\frac34 : \frac12$
71.
Ratkaise yhtälöt.
a) $\frac x2=4$
b) $\frac x3=2$
c) $\frac x5=3$
d) $ \frac x6=5$
72.
Ratkaise $x$.
a) $\frac x4=7$
b) $\frac x2=-9$
c) $\frac x{-5} = 2$
d) $\frac x{-8} = -2$
73.
Ratkaise yhtälöt.
a) $\frac{2x}3 = 6$
b) $\frac {3x}4 = 9$
c) $\frac{2x}5 = 4$
d) $\frac{5x}4 =10$
74.
Ratkaise yhtälöt.
a) $\frac{2x}3=4$
b) $\frac{2x}4=8$
c) $\frac{2x}5 = -4$
d) $\frac{5x}6=20$
75.
Ratkaise yhtälöt.
a)
$\frac x3 = \frac 32$
b)
$\frac x8 = 34$
c)
$\frac{3x}4 = \frac13$
d)
$\frac{2x}8=\frac36$
76.
Solve these equations.
a)
$7 - \frac x2=2$
b) $1 + \frac x5 = 8$
c) $\frac x3 + 4 = 13$
d) $\frac x2 + 2 = 5$
77.
Ratkaise yhtälöt.
a) $x + \frac x3 = 12$
b) $x + \frac x2 = 12$
c) $2x -\frac x3 = 5$
d) $3x - \frac x4 = 22$
78.
Ratkaise yhtälöt.
a) $\frac{x+1}4=3$
b) $\frac{2x-1}3=5$
c) $\frac{3x+4}5=-1$
d) $\frac{2x+1}4=1$
79.
Ratkaise yhtälöt.
a)
$\frac{2x-1}2 = \frac14$
b)
$\frac{2x+1}2 = \frac35$
c)
$\frac{-3x+2}3=-\frac56$
d)
$\frac{-x+7}4 = \frac 52$
80.
Ratkaise yhtälöt.
a) $\frac{4x}{15} - \frac{2x}5 + 1 = 0$
b) $\frac x5 + \frac{4x}5 -2x+\frac23 = 0$
81.
Write an equation and solve: If a number, $x$, divided by 8
equals 4 what is $x$?
82.
Ratkaise $x$:
a) $\frac x2 - \frac x3 = 2$
b) $\frac x4 + \frac {3x}8 = -1$
c) $\frac{2x}3 - \frac x6 = -2$
d) $\frac 2 + \frac{2x}3 = 7$
83.
Ratkaise yhtälöt.
a) $\frac{11-x}4 = -x+2$
b) $\frac{x+1}2 + \frac{x-1}3 = 1$
c) $\frac{x+20}3 -\frac{x+1}4=2$
d) $\frac{x-1}3 - \frac{x+1}4=0$
84.
Yksi kolmasosa maalausurakasta kestää 24 tuntia. Paljonko aikaa kuluu koko maalausurakan tekemiseen?
Kirjoita ongelma ensin yhtälönä.
85.
Kirjoita yhtälö ja ratkaise se.
a) Luvun $x$ puolikkaan ja neljäsosan summa on yksi.
b) Luvun $x$ kahdeksasosan ja kolmasosan erotus on kaksi.
86.
Ratkaise $x$
$\frac{x-1}{10} = \frac{x-2}3 - \frac{x+1}6$
87.
Ratkaise yhtälö.
$\frac{3x-1}2 - \frac{x-1}6 = \frac{x+8}3$
88.
Ratkaise yhtälö.
$\frac{2x-3}6 + \frac{x+2}3 - \frac52 = 0$
89.
Ratkaise yhtälö.
$-\left( x + \frac{x+2}3 \right) = \frac{-3(2x+1)}2$
90.
Ratkaise yhtälö $\frac{2x-5}4 - \frac{3x-8}6 = \frac x{12}$
. (yo kevät 1986)