Rationaaliluvut
- Murtoluvut
- Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku
- Murtolukujen kertolasku
- Murtolukujen jakolasku
- Lavenna samannimisiksi laventamalla (tai supistamalla)
- Osoittajat lasketaan yhteen, nimittäjä säilyy
- Supista vastaus, jos mahdollista
Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku
Perussääntö on:
Kaksi murtolukua saa aina samannimisiksi kertomalla toinen toisen nimittäjällä, ja se toinen sen toisen nimittäjällä, eli ristiinkertomalla. Se toimii aina!
Murtolukujen yhteenlasku
Määritellään ensin kaikki murtoluvut, joiden jakaja (nimittäjä) on $3$.
Otetaan lukusuora, ja merkitään siihen kaksi pistettä. Vasemmanpuoleinen olkoon nimeltään $0$ ja oikeanpuoleinen $1$. Merkitäänn tätä janaa symbolilla $[0,1]$, ja kutsutaan sitä yksikköjanaksi.
Mitataan samanmittaisia pätkiä kuin $[0,1]$ pisteen $1$ oikealle puolelle, ja merkitään näin saatuja pisteitä merkeillä $2$, $3$, $4$, $\dots$.
Tällä tavoin saatu jono tasaetäisyyden pisteistä oikealle päin vastaa kokonaislukuja, ja sen nimi on lukusuora.
Yksikköjana $[0,1]$ on kokonainen, ja vastaavat janat $[1,2]$ eli jana pisteiden $1$ ja $2$ välillä, $[2,3]$ jne ovat myös kokonaisia. Jaetaan jokainen tällainen jana kolmanneksiin. Nyt voidaan laskea kolmanneksien lukumäärä menemällä vasemmalta oikealle aloittaen luvusta $0$. Siis punainen jana vastaa kahta kolmannesta:
Alla oleva vihreä jana koostuu seitsemästä kolmasosasta
Selvästi punainen jana voidaan korvata sen oikean puoleisella päätepisteellä, mitä merkitään symbolilla $\frac23$:
Vastaavasti vihreä jana korvataan sen oikeanpuoleisella päätepisteellä, joka on $\frac73$
Siispä jokainen kokonaisen osa (kolmasosa) onkin piste lukusuoralla. Piste, mikä on $7$:s piste oikealle nollasta $0$ on $\frac73$. Yleisesti voidaan sanoa, että $n$:s piste oikealle on $\frac n3$.
Murtoluvut, joissa nimittäjä on 5 laitetaan vastaavasti lukusuoralle: $\frac85$ on $8$s piste nollasta oikealle viidesosien jonossa. Ja niin edelleen.
Jos $n$ on positiivinen kokonaisluku, niin murtoluku $\frac3n$ on kolmas piste nollasta oikealle $n$:s-osien lukusuoralla, ja jos $m$ on kokonaisluku, niin murtoluku $\frac mn$ on $m$:s piste oikealle $0$:sta laskettuna $n$:s-osien lukusuoralla.
Murtoluvut: Yhtäsuuruus
Esim. $\frac36$ ja $\frac12$ ovat yhtäsuuria, koska $$3=3\times1 \hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}6=3\times 2$$
Esim 2. $\frac{10}{12}$ ja $\frac56$ ovat yhtäsuuria, koska $$10=2\times5 \hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}12=2\times 6$$
Esim 3. $\frac{14}6$ ja $\frac73$ ovat yhtäsuuria, koska $$14=2\times7 \hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}6=2\times 3$$
Todistetaan, että $\frac{14}6 = \frac73$.
Meidän tulee osoittaa, että $7$:s piste nollasta oikealle kolmasosien jonossa on myös $14$:s piste nollasta oikealle kuudesosien jonossa.
Jaetaan jokainen kolmasosa kahteen (2) yhtäsuureen osaan:
Nyt lukusuoralla on jono kuudesosia, ja 14:s piste nollasta oikealle on tasan 7:s piste nollasta oikealle kolmasosien jonossa, kuten pitikin.
Kumpi on suurempi $\frac{19}{54}$ vai $\frac6{17}$?
Ensin pitää miettiä, mitä tarkoitetaan termillä "suurempi"? Lukusuora antaa heti selvän määritelmän: murtoluku $\frac mn$ on suurempi kuin toinen murtoluku $\frac k\ell$, jos lukusuoralla $\frac mn$ on $\frac k\ell$:n oikealla puolen:
Siispä, kumpi murtoluvuista $\frac{19}{54}$ vai $\frac6{17}$ on lukusuoralla enemmän oikealla?
Hankaluus on verrata $19$. pistettä nollan oikealla puolella 54.-osien jonossa kuudenteen ($6$.) pisteeseen seitsemästoistaosien jonossa.
Vastaava ongelma
Kumpi on pidempi, 19 jalkaa vai 6 metriä?
Ilmaistaan luvut samassa yksikköjärjestelmässä, vaikka senttimetreissä. Selvästi $19$ jalkaa $= 19\times 12$ tuumaa $=228$ tuumaa $=228\times 2.54$ cm $=579.12$ cm.
Siis $6$ m$=600$ cm on pidempi.
Vastaavasti etsitään 54:s-osien ja 17:s-osien yhteinen mitta. Tietenkin $$\frac1{54} = \frac{17}{54\times17}\hspace{1cm}\text{ja}\hspace{1cm}\frac1{17}=\frac{54}{54\times17} $$ eli $\frac1{54\times17}$ toimii yhteisenä yksikkönä molemmille.
Vielä kerran:
$$\frac{19}{54}= \frac{19\times17}{54\times17} = \frac{323}{54\times 17} $$ $$\frac6{17}= \frac{54\times6}{54\times17} = \frac{324}{54\times 17} $$Eli ilmaistaessa $\frac1{54\times17}$-osissa, 324:s piste nollasta oikealla on ihan selvästi 323. pisteen oikealla puolella. Siispä $\frac6{17}$ on suurempi kuin $\frac{19}{54}$.
JATKA Bethel-5.pdf page 79.
Laske $\frac12 + \frac 14$.
Laske $\frac23 - \frac16$.
Ratkaisu. Lavennetaan samannimisiksi. Nyt helpointa on laventaa termi $\frac23$, eli koska $\frac23 = \frac46$, saadaan
$$\begin{align*} \frac23 - \frac 16 &= \frac 46 - \frac16 \\ &= \frac{4-1}6 \\ &= \frac36\\ &= \frac12 \end{align*}$$Laske $\frac56 +\frac34 - \frac13$.
Ratkaisu.
Laske $3\frac12 -4 +\frac14$.
Ratkaisu. Kolme kokonaista ja puolikas ($3\frac12$) tarkoittaa oikeasti $3 + \frac12$, ja koska puolikas on helppo muuttaa neljäsosiksi, saadaan
$$\begin{align*} 3\frac12 - 4 + \frac 14 &= 3+ \frac 12 - 4 + \frac14 &&(\text{Muuutetaan järjestystä}) \\ &= 3-4 + \frac12 + \frac14 &&(\text{Murtoluvut samannimisiksi}) \\ &= -1 + \frac24 + \frac14 \\ &= -1 + \frac{2+1}4 \\ &= -1 + \frac34 &&(\text{Muutetaan kokonaisluku murtoluvuksi})\\ &= -\frac44 + \frac34 &&(\text{Muutetaan järjestystä)}\\ &= \frac34-\frac44 \\ &= \frac{3-4}4 \\ &= \frac{-1}2 = - \frac12 \end{align*}$$Laske $-\frac25 - \frac34$.
Ratkaisu. Nyt ei ole helppo lavennusta, mutta ristiinkertomalla saadaan ratkaisu
$$\begin{align*} -\frac25 - \frac 34 &= -\frac{2\times4}{5\times4} - \frac{3\times5}{4\times5} \\ &= -\frac8{20} - \frac{15}{20} \\ &= \frac{-8-15}{20}\\ &= \frac{-23}{20} \\ &= -1 \frac3{20} \end{align*}$$